Estudo de modelos epidemiológicos compartimentais

Abstract

A modelagem matemática de epidemias requer ferramentas capazes de capturar a complexidade da propagação de doenças. Nesse contexto, o principal objetivo desta dissertação é investigar e comparar a dinâmica da propagação epidemiológica simulada sob dois modelos distintos: equações diferenciais ordinárias (EDOs) e autômatos celulares (ACs). Com base em modelos compartimentais clássicos (SI, SIR e SEIR), foram desenvolvidas implementações contínuas e discretas para examinar as diferenças estruturais, comportamentais e matemáticas entre as abordagens. Metodologicamente, enquanto os modelos baseados em EDOs operam sob a premissa de mistura homogênea e evoluem de forma determinística, os ACs rompem essa premissa ao incorporar interações locais, estocasticidade e estrutura espacial, permitindo a simulação de surtos localizados e dinâmicas emergentes. Além da análise qualitativa das curvas geradas, ajustes quantitativos foram aplicados às séries temporais usando três funções matemáticas: crescimento exponencial, lei de potência e tangente hiperbólica. Os resultados demonstram diferenças marcantes na velocidade de infecção: epidemias modeladas por EDOs tipicamente exibem crescimento exponencial em seus estágios iniciais, refletindo contágio global; em contraste, simulações via ACs seguem dinâmicas compatíveis com leis de potência, destacando o limite físico do avanço espacial da doença. Também foi constatado que a função tangente hiperbólica se destacou por sua alta precisão matemática, ajustando adequadamente o comportamento inicial de ambos os formalismos ao capturar a transição exata entre a fase de rápido crescimento e a saturação da epidemia. Conclui-se que a integração entre simulações contínuas e discretas, combinada com a escolha de funções de ajuste, expõe as limitações intrínsecas de cada modelo e fornece uma estrutura significativamente mais robusta para a compreensão das dinâmicas epidemiológicas.

The mathematical modeling of epidemics requires tools capable of capturing the complexity of disease propagation. In this context, the primary objective of this dissertation is to investigate and compare the dynamics of epidemiological spread simulated under two distinct formalisms: ordinary differential equations (ODEs) and cellular automata (CAs). Drawing upon classical compartmental models (SI, SIR, and SEIR), continuous and discrete implementations were developed to examine the structural, behavioral, and mathematical differences between these approaches. Methodologically, while ODE-based models operate under the assumption of homogeneous mixing and evolve deterministically, CAs break this premise by incorporating local interactions, stochasticity, and spatial structure, thereby enabling the simulation of localized outbreaks and emergent dynamics. Beyond the qualitative analysis of the generated curves, quantitative fitting was applied to the time series using three mathematical functions: exponential growth, power law, and hyperbolic tangent. The results demonstrate marked differences in the infection rate: epidemics modeled by ODEs typically exhibit exponential growth in their early stages, reflecting global contagion. In contrast, CA-based simulations follow dynamics consistent with power laws, highlighting the physical boundaries of the disease’s spatial spread. Furthermore, the hyperbolic tangent function proved to be highly precise mathematically, adequately fitting the initial behavior of both formalisms by capturing the exact transition between the rapid growth phase and the saturation of the epidemic. Ultimately, it is concluded that integrating continuous and discrete simulations, coupled with the selection of fitting functions, exposes the intrinsic limitations of each model and provides a significantly more robust framework for understanding epidemiological dynamics.