O princípio da Contração de Banach: versões e aplicações

Abstract

Em Matemática, resultados de existência e unicidade de soluções para um determinado problema são considerados muito importantes do ponto de vista teórico. Por outro lado, encontrar uma aproximação para essa solução também é valiosa do ponto de vista prático. O Princípio da Contração de Banach, também conhecido como Teorema do Ponto Fixo de Banach, é um resultado dessa natureza, ou seja, fornece condições que garantem a existência e unicidade de ponto fixo para uma aplicação. Além disso, sua demonstração fornece um processo iterativo, cujo ponto fixo é o limite dessa sequência de iterações, e estimativas de erro para aproximações desse ponto fixo. Este trabalho tem como objetivo, por meio da metodologia de revisão de literatura, enunciar e demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Banach, algumas versões e sua recíproca, não tão conhecida na literatura, e aplicá-lo para demonstrar importantes teoremas de existência e unicidade de soluções para sistemas de equações lineares e para equações diferencias e integrais, além do método de Newton para encontrar zeros de funções. Com este trabalho pudemos perceber a importância do Princípio da Contração de Banach, tanto do ponto de vista teórico como do ponto de vista prático, e como uma fonte de teoremas de existência e unicidade, com muitas consequências.