Efeito de malhas anisotrópicas bidimensionais sobre o desempenho do método multigrid geométrico

Abstract

O objetivo deste trabalho é reduzir o tempo de CPU (Central Processing Unit) necessário para resolver problemas difusivos bidimensionais, discretizados com malhas anisotrópicas. Os modelos matemáticos considerados referem-se a três problemas bidimensionais lineares de condução de calor, governados pelas equações de Laplace e Poisson, com condições de contorno de Dirichlet. O método de diferenças finitas é usado para discretizar as equações diferenciais com esquema de diferença central (CDS) de segunda ordem. Os sistemas de equações algébricas são resolvidos usando-se os métodos Gauss-Seidel lexicográfico e redblack, associados ao método multigrid geométrico com esquema de correção (CS) e ciclo V. Foram resolvidos problemas com anisotropia geométrica, diversas malhas e razões de aspecto. O número de iterações internas (ν) foi verificado em um intervalo de 1 a 3.000. A análise do número de níveis foi realizada utilizando-se o número máximo de níveis ( ) máximo L e −1 máximo L , − 2, − 3 máximo máximo L L , − 4 máximo L . São feitas comparações entre diversos algoritmos de engrossamento: engrossamento padrão (EP), semi-engrossamento (SE), semiengrossamento completo (SEC), semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SEEP) e engrossamento padrão seguido de semi-engrossamento (EP-SE). Também são realizadas comparações entre alguns operadores de restrição: injeção, meia ponderação e ponderação completa. São propostos três tipos de restrição para problemas anisotrópicos: meia ponderação geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação parcial. O processo de prolongação utilizado é a interpolação bilinear. Também foi investigado o efeito sobre o tempo de CPU causado por: número de pontos na malha (N); número de iterações internas no solver (v); e número de malhas (L). Verificou-se que: o algoritmo SE-EP é o mais rápido entre os cinco algoritmos testados; e confirmou-se que, para problemas isotrópicos e anisotrópicos, o solver Gauss-Seidel red-black com restrição por ponderação parcial resulta em menor tempo de CPU em relação ao Gauss-Seidel lexicográfico.

The purpose of this work is to reduce the CPU (Central Processing Unit) time necessary to solve two-dimensional diffusive problems, discretized with anisotropic grids. The mathematical models considered are related to three two-dimensional linear heat diffusion problems, governed by Laplace and Poisson equations, with Dirichlet boundary conditions. The differential equations are discretized by the finite difference method, with second order approximations, given by central differences scheme (CDS) for derivatives. The systems of equations are solved with the lexicographical and red-black Gauss-Seidel methods, associated to geometric multigrid with correction scheme (CS) and V-cycle. For problems with geometric anisotropic, several grids and aspect ratios are considered. The inner iterations are verified for the interval between 1 and 3.000. The analyses for the number of levels are accomplished using the maximum level number ( ) máximo L and −1 máximo L , − 2, − 3 máximo máximo L L , − 4 máximo L . Comparisons among several semi-coarsening algorithms are made: standard coarsening (EP), semi-coarsening (SE), full semi-coarsening (SEC), semi-coarsening followed by standard coarsening (SE-EP) and standard coarsening followed by semi-coarsening (EP-SE). Comparisons are also made among some restrictions schemes: injection, half weighting and full weighting. Three restriction schemes for anisotropic problems are proposed: geometric half weighting, geometric full weighting and partial weighting. The prolongation process used is the bilinear interpolation. The CPU time changes caused by the following effects are also studied: the number of nodes of a grid (N); the number of inner iterations of the solver (ν ) ; and the number of grids used (L). It was verified that: the algorithm SE-EP is the fastest of the five algorithms tested; for isotropic and anisotropic problems, red-black Gauss-Seidel solver with partial weighting restriction results in smaller CPU time compared to lexicographical Gauss-Seidel.